Question

prove usando a INDUÇÃO finita que 1³+2³+...+n³ = (1+2+...+n)²​

Answer 1

Resposta:

1 + 2 + 3 + ...+ n  é a soma do termos de uma PA de razão  r = 1

1 + 2 + 3 + ...+ n = $\frac{(a_1+n)n}{2}$

1³ + 2³ + 3³ + ...+ n³  = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

$1 + 2 + 3 + ...+ n =\frac{(a_1+n)n}{2} =\frac{(1+n)n}{2} \\\\1^3+2^3+3^3+...+n^3=[\frac{(1+n)n}{2}]^2 \\\\p/n=1\implies1=[\frac{1+1).1}{2}]^2\\\\1=\frac{2.1}{2} \\\\1=1^2~~\implies1=1~~Verdadeiro\\\\p/n=k+1\\\\1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2 +(k+1)^3$

$\frac{k^2(k+1)^2}{4} +\frac{4(k+1)^3}{4} =\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}$

Como o primeiro membro é igual ao segundo membro, não há necessidade de continuarmos.