Question

Prove usando a definição de Limite:

Lim (2x² + 5x + 3) = 1
x → -2

ε = 0,004

Help me!!​

Answer 1

Primeiro vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que

$\displaystyle \lim_{x \to a} \,f(x) = L$

quando vale o seguinte: Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que  se 0 < |x-a| < δ então |f(x) - L| < ε.

Assim, provar um limite pela definição consiste em encontrar esse δ da definição acima para cada ε que faz a desigualdade |f(x) - L| < ε ser verdadeira. No problema em questão digamos que escolhemos um ε. Queremos que a desigualdade

| (2x²+5x+3) - 1 | < ε

seja verdadeira. Mas observe que

(2x²+5x+3) - 1  = 2x² + 5x  + 2 = (x+2)(2x + 1)

Agora vamos encontrar o δ. Já sabemos que  |x+2| <  δ. Temos que majorar 2x+1 como visto na expressão acima. Note que

| 2x+1 | = | 2(x+2) - 3 | ≤ 2|x+2| + 3 < 2δ + 3

Ou seja, se |x+2| < δ então |2x+1| <  2δ + 3. Então tome δ > 0 de forma que δ(2δ+3) < ε. Logo, para esse δ escolhido temos

0 < |x+2| < δ ⇒

|f(x) - 1| = | (2x²+5x+3) - 1 |  = |x+2| |2x+1| < δ(2δ+3) < ε

Ou seja, provamos que

0 < |x+2| < δ ⇒ |f(x) - 1| < ε

Concluímos que

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \,2x^2 + 5x + 3 = 1$