Question

Prove que y é uma solução da equação diferencial:
Y” – 3y’ + 2y = 0
y = C1ex + C2e2x

Answer 1

Se $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2x}$ é uma solução da equação diferencial, então ela a satisfaz, ou seja, se substituirmos y, y' e y'' em Y, chegaremos em 0:

Então vamos encontrar as derivadas de primeira e segunda ordem da solução y:

$y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2x} \\ \\ y' = C_{1} e^{x} + 2C_{2} e^{2x} \\ \\ y'' = C_{1} e^{x} + 4C_{2} e^{2x}$

Agora vamos substituir as derivadas na equação diferencial:

$Y''-3Y' + 2Y = 0 \\ \\ (C_{1} e^{x} + 4C_{2} e^{2x})-3( C_{1} e^{x} + 2C_{2} e^{2x}) + 2(C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2x})=0 \\ \\ C_{1} e^{x} + 4C_{2} e^{2x}-3C_{1} e^{x} - 6C_{2} e^{2x} + 2C_{1} e^{x} + 2C_{2} e^{2x}=0 \\ \\ C_{1} e^{x}-3C_{1} e^{x}+ 2C_{1} e^{x} + 4C_{2} e^{2x}- 6C_{2} e^{2x} + 2C_{2} e^{2x}=0 \\ \\ C_{1} e^{x}(1-3+ 2 )+ C_{2} e^{2x}(4- 6 + 2)=0 \\ \\ C_{1} e^{x}(0 )+ C_{2} e^{2x}(0)=0\\ \\ 0+0=0$