Question

prove que |x+y| ≤ |x| + |y|

Answer 1

Provemos por contradição que $|x+y| \leq |x| + |y|$

Para isso, vamos dizer que : 
1) $|x+y| \geq |x| + |y|$;
2) y < 0 e x > 0;
Logo, podemos dizer que y é um numero negativo, vamos para a equação "1";$|x+y| \geq |x| + |y|$;, substituimos os nossos valores (y<0 e x>0);
$|x+(-y)| \geq |x| + |(-y)|$,
Analisando o lado esquerdo da inequação podemos dizer que : 
$x \geq |x-y|$;
Analisando o lado direito da inequação podemos dizer que:
$|x| + |(-y)| \geq x$;
logo:$|x| + |(-y)| \geq |x+(-y)|$, para todo $y \neq 0$ e $x \neq 0$;