Question

Prove que uma matriz com todas as entradas racionais possui um determinante racional.​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vou dar 3 provas (concisamente)

1) Dada uma matriz com entradas racionais, podemos escaloná-la até se tornar diagonal sem alterar o determinante. Como as entradas são racionais, a matriz obtida ainda tem entradas racionais. Mas numa matriz diagonal, seu determinante é o produto das diagonais. Portanto, o determinante  é um número racional.

2) Por indução. É facil ver que para matrizes 2 x 2 isso é verdade. Por induçao suponha valido para nxn. Para matrizes (n+1) x (n+1) basta usar o método dos cofatores. Cada um dos cofatores é racional pela hipotese de indução, pois é um determinante nxn. E os coeficientes dos cofatores também, já que são entradas da matriz a menos do sinal. Daí o determinante da matriz (n+1)x(n+1) também é racional.

3) Usando que o determinante é uma função polinomial em suas entradas. E os coeficientes do polinômio são 1 e -1. De fato, existe uma formula explicita para o determinante. Sendo A a matriz

$A = \left[\begin{array}{ccc}A_{11}&\cdots&A_{1n}\\\vdots&\ddots &\vdots\\A_{n1}&\cdots&A_{nn}\end{array}\right]$

Então

$\det A = \displaystyle \sum_{\sigma} \textrm{sgn}(\sigma) \, A_{1 \sigma(1)}A_{2\sigma(2)} \cdots A_{n \sigma(n)}$

onde σ varia entre todas as permutações de {1,2,3,...,n} e sgn(σ) é o sinal da permutação σ.

Disso segue diretamente que se os números Aij são racionais, então det A também é.