Question

Prove que

|| λu || = | λ | || u || , Ɐ λ є R ; Ɐ u​

Answer 1

Sabe-se que, para qualquer vetor $v$, $\left \| v \right \|^2=\left \langle v,v \right \rangle$, logo:

$\left \| \lambda u \right \|^2=\left \langle \lambda u,\lambda u \right \rangle$

Por propriedade do produto interno, para qualquer vetor $u,v$ e número real $k$, $\left \langle ku,v \right \rangle=k\left \langle u,v \right \rangle$, logo:

$\left \| \lambda u \right \|^2=\lambda\left \langle u,\lambda u \right \rangle$

$\left \| \lambda u \right \|^2=\lambda^2\left \langle u,u \right \rangle$

$\left \| \lambda u \right \|^2=\lambda^2\left \| u \right \|^2$

$\sqrt{\left \| \lambda u \right \|^2}=\sqrt{\lambda^2\left \| u \right \|^2}$

$\sqrt{\left \| \lambda u \right \|^2}=\sqrt{\lambda^2}\cdot\sqrt{\left \| u \right \|^2}$

$\left \| \lambda u \right \|=|\lambda|\left \| u \right \|$