Question

prove que todo quadrado perfeito deixa resto 0 ou 1 quando dividido por 4​

Answer 1

Solução:

Seja m um inteiro, por meio do algoritmo da divisão temos que

$m^2=4q+r$ onde q é o quociente da divisão e r é o resto e aonde $0\leq r<4$, como m é um inteiro então há duas possibilidades m par ou m ímpar, segue que

• Se m for par então $m=2k$, logo

$m^2=(2k)^2\Rightarrow m^2=4k^2+0$

Então pela unicidade da existência de q e r do algoritmo da divisão, concluímos que $q=k^2$ e o resto r=0

• Se m for ímpar então $m=2k+1$, logo

$m^2=(2k+1)^2\Rightarrow m^2=4k^2+4k+1\Rightarrow m^2=4(k^2+k)+1$

Analogamente ao caso par, concluímos $q=k^2+k$ e resto r=1