Question

Prove que todo numero impar quando é elevado ao quadrado , resulta em outro numero impar. Faça o mesmo com os números pares

Answer 1

(i) Provar que se $n$ é ímpar, então $n^{2}$ também é ímpar.

Se $n$ é ímpar, então

$n=2k+1,\;\;k \in \mathbb{N}\\ \\ n^{2}=\left(2k+1 \right )^{2}\\ \\ n^{2}=\left(2k \right )^{2}+2\cdot 2k\cdot 1+1^{2}\\ \\ n^{2}=4k^{2}+4k+1\\ \\ n^{2}=2\cdot \left(2k^{2}+2k \right )+1\\ \\ n^{2}=2p+1,\;\;p=2k^{2}+2k$

Assim, provamos que $n^{2}$ também é ímpar.


(ii) Provar que se $n$ é par, então $n^{2}$ também é par.

Se $n$ é par, então

$n=2k,\;\;k \in \mathbb{N}\\ \\ n^{2}=\left(2k \right )^{2}\\ \\ n^{2}=4k^{2}\\ \\ n^{2}=2\cdot \left(2k^{2} \right )\\ \\ n^{2}=2p,\;\;p=2k^{2}$

Logo, $n^{2$ também é par.