Question

prove que todo inteiro positivo é uma potência de 2 ou pode ser escrito como a soma de distintas potências de 2.

Answer 1

Foi possível demonstrar através do princípio de indução finita que todo inteiro positivo pode ser escrito como soma de distintas potências de 2.

Princípio da indução finita

Se n pode ser escrito como uma soma de potências distintas de dois, vamos denotar essa soma como f(n). Sendo assim vamos aplicar o princípio da indução finita:

1. Quando n=1, 1 = $2^0$.A afirmação é verdadeira;
2. Supondo agora que  a afirmação seja verdadeira quando n = j, 1 ≤ j ≤ k.

Então j pode ser escrito como uma soma de potências distintas de dois. Teremos que provar que a afirmação é verdadeira quando n = k + 1, isto é, (k + 1) pode ser escrito como uma soma de potências distintas de dois.

1° Caso: k +  1  é um inteiro positivo ímpar

Então k é um inteiro positivo par. Pela suposição, k pode ser escrito como soma de potências distintas de dois. Como k é par $2^0$ não está incluído (caso contrário, k será ímpar). Então k+1 pode ser escrito como $f(k+1)=f(k)+2^0$ que é a soma de distintos potências de dois.

2° Caso: k + 1 é par

Então $\dfrac{k+1}{2}$ é um número inteiro positivo, e $1\leq \dfrac{k+1}{2}\leq k$. Pela suposição $\dfrac{k+1}{2}$ pode ser escrito como soma de potências distintas de dois. Então k + 1 pode ser escrito como $f\left(k+1\right)=2\cdot f\left(\left(\dfrac{k+1}{2}\right)\right)$. Uma vez que todas as potências $f\left(\left(\dfrac{k+1}{2}\right)\right)$ são distintas, então todos as potências em $2\cdot f\left(\left(\dfrac{k+1}{2}\right)\right)$ também serão distintas. Por indução, a afirmação é verdadeira.

Saiba mais sobre princípio da indução finita:https://brainly.com.br/tarefa/53291800

#SPJ4