Question

Prove que todo inteiro pode ser escrito como a soma de cinco cubos .

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{Queremos mostrar que, dado um inteiro n qualquer, sempre}\\\textsf{\'e poss\'ivel escrever n como}\\\\ \mathsf{n=v^3+w^3+x^3+y^3+z^3\qquad(i)}\\\\ \textsf{com }\mathsf{v,\,w,\,x,\,y,\,z \in\mathbb{Z}}\textsf{ (esta equa\c{c}\~ao sempre tem solu\c{c}\~ao).}\\\\\\ \textsf{Por conveni\^encia, vamos supor que um nos n\'umeros v,\,w,}\\\textsf{x,\,y ou z seja o pr\'oprio n.}\\\\\textsf{Sem perda de generalidade, suponhamos que}\\\\ \mathsf{z=n}\\\\\\\textsf{de forma que a equa\c{c}\~ao (i) fica} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{n=v^3+w^3+x^3+y^3+n^3}\\\\ \mathsf{n-n^3=v^3+w^3+x^3+y^3}\\\\ \mathsf{n(1-n^2)=v^3+w^3+x^3+y^3}\\\\ \mathsf{n(1-n)(1+n)=v^3+w^3+x^3+y^3}\\\\ \mathsf{-(n-1)n(n+1)=v^3+w^3+x^3+y^3\qquad(iii)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{No lado esquerdo da equa\c{c}\~ao (iii) acima, temos o produto entre}\\\textsf{tr\^es inteiros consecutivos. N\~ao \'e dif\'icil mostrar que}\\\\ \mathsf{(n-1)n(n+1)}\\\\ \textsf{\'e sempre m\'ultiplo de 6, para qualquer n inteiro.}\\\\\\ \textsf{Uma justificativa bem simples \'e notar que dados tr\^es n\'umeros}\\\textsf{inteiros consecutivos,}\\\\ \bullet~~\textsf{ao menos um deles \'e par (m\'ultiplo de 2);}\\\\ \bullet~~\textsf{exatamente um deles \'e m\'ultiplo de 3.}\\\\\\ \textsf{Segue que o produto entre estes tr\^es n\'umeros \'e simultaneamente}\\\textsf{m\'ultiplo de 2 e de 3. Logo, este produto \'e m\'ultiplo de 6.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Posto isto, podemos escrever que sempre existe}\\\textsf{um k inteiro, tal que}\\\\ \mathsf{-(n-1)n(n+1)=6k\qquad(iv)}\\\\\\ \textsf{Observando a equa\c{c}\~ao (iii), temos como interesse escrever}\\\\ \mathsf{-(n-1)n(n+1)=6k}\\\\ \textsf{como soma de cubos de quatro inteiros.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Usando os nossos conhecimentos de produtos not\'aveis,}\\\textsf{podemos escrever que}\\\\ \mathsf{6k}\\\\ =\mathsf{3k+3k}\\\\ =\mathsf{k^3+3k+k^3+3k-k^3-k^3}\\\\ =\mathsf{k^3+3k^2+3k+k^3-3k^2+3k-k^3-k^3}\\\\ =\mathsf{k^3+3k^2+3k+1+k^3-3k^2+3k-1-k^3-k^3}\\\\ =\mathsf{(k^3+3k^2+3k+1)+(k^3-3k^2+3k-1)+(-k)^3+(-k)^3}\\\\\\ \therefore~~\mathsf{6k=(k+1)^3+(k-1)^3+(-k)^3+(-k)^3\qquad(v)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Lembre-se que k \'e um inteiro qualquer (e \underline{sempre \'e poss\'ivel}}\\\textsf{encontr\'a-lo de forma que (iv) \'e satisfeita).}\\\\\\\textsf{Usando (iv) na equa\c{c}\~ao (v) acima, obtemos }\\\\ \mathsf{-(n-1)n(n+1)=(k+1)^3+(k-1)^3+(-k)^3+(-k)^3}\\\\ \mathsf{n-n^3=(k+1)^3+(k-1)^3+(-k)^3+(-k)^3}\\\\ \mathsf{n=(k+1)^3+(k-1)^3+(-k)^3+(-k)^3+n^3\qquad(vi)}\\\\\\ \textsf{ou ainda,}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{n=\left(\dfrac{n-n^3}{6}+1\right)^{\!\!3}+\left(\dfrac{n-n^3}{6}-1\right)^{\!\!3}+\left(\dfrac{n^3-n}{6}\right)^{\!\!3}+\left(\dfrac{n^3-n}{6}\right)^{\!\!3}+n^3} \end{array}}\\\\\\ \textsf{o que conclui a prova.} \end{array}$

__________


$\large\begin{array}{l} \textsf{Vale lembrar que esta esta n\~ao \'e necessariamente a \'unica}\\\textsf{forma de se escrever um inteiro como a soma de cinco cubos.}\\\\\textsf{Por exemplo, veja que um caso trivial \'e}\\\\ \mathsf{225=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}\\\\\\ \textsf{mas usando o resultado da prova desta quest\~ao, basicamente a}\\\textsf{equa\c{c}\~ao (vi), temos}\\\\ \bullet~~\mathsf{n=225}\\\\ \bullet~~\mathsf{n-n^3=225-225^3=-11\,390\,400}\\\\ \bullet~~\mathsf{k=\dfrac{n-n^3}{6}=-1\,898\,400}\\\\\\ \textsf{e podemos escrever n de acordo com a f\'ormula encontrada em (vi)}\\\\ \mathsf{225=(-1\,898\,399)^3+(-1\,898\,401)^3+1\,898\,400^3+1\,898\,400^3+225^3} \end{array}$


Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7409382


$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: inteiro soma cinco cubos prova demonstração teoria dos números matemática discreta equação diofantina