Question

PROVE QUE:

Toda sequência de Cauchy é limitada.

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

Vale lembrar que:

Uma sequência (x_n)  será dita de Cauchy se, somente se, para todo $\epsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que  |$|x_m-x_n|<\epsilon$ , para todo m, n ≥ $n_0$.

De posse disso, sendo (x_n) uma sequência de Cauchy arbitrária, tome $\epsilon$ = 1, logo existe $n_0$ tal que o conjunto de valores x_n é finito quando tomado n<$n_0$, ou seja,

$L=\max\{x_n: n<n_0\}$

Então, $-L\leq x_n\leq L$ para todo $n<n_0$. Ainda por (x_n) ser de Cauchy,

$|x_n|=|x_n-x_m+x_m|<|x_m|+|x_n-x_m|< L+1$

sempre que n, m forem maiores do que $n_0$. Portanto, concluímos que a sequência (x_n) é limitada.

                                                                                                                      $\square$

Bons estudos