Question

Prove que (tgx + x) /( x)=2?

Answer 1

Essa afirmação é falsa.
Pense assim, algo dividido por outro algo e dar 2, o numerador tem que ser o dobro do denominador.
Ou seja, tg(x) +x = 2x

Provando isso usando o cálculo:
$\large \dfrac{\tan(x)+x}{x}=2\\ \tan(x)+x=2x\\ \tan(x)=2x-x\\ \boxed{\tan(x)=x}$

Sabemos que o domínio da função tangente é todos os números reais, exceto os números cujo o cosseno é 0.
Logo essa condição só é satisfeita para poucos números do conjunto dos reais.
O mais simples dele é o 0, no entanto caso x seja 0, teremos uma indeterminação...

$\dfrac{\tan(0)+0}{0} = 2\\ \boxed{\dfrac{0}{0} \neq 2}$

Portanto, essa afirmação é falsa e não pode ser provada.

Mas se você aplicar o limite, chegará no resultado igual a 2.
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(x)+x}{x}\\\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(x)}{cos(x)}+x}{x}\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)+x*\cos(x)}{x*cos(x)}\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\not{\sin(x)}}{\not{x}*cos(x)} + \dfrac{x*\cos(x)}{x*\cos(x)}$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{cos(x)}+1 = \dfrac{1}{1}+1 =\boxed{ 2}$