Question

Prove que
$x {}^{2} - 2$
Nunca será divisível por 3.​

Answer 1

Uma maneira de provar isso dá-se pelo fato de que todo e qualquer número inteiro n não múltiplo de três, deixa sempre resto 1 (um) ou 2 (dois) quando dividido por três, e resto 0 (zero) caso este seja múltiplo de três. Em outras palavras, dizemos que qualquer inteiro n satisfaz uma, e somente uma, das três seguintes equações:

$\begin{cases}\mathsf{n=3k}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{n=3k+1}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{n=3k+2}\end{cases}$

, sendo k um inteiro arbitrário a determinar. Baseando-se no que foi dito acima, conclui-se de imediato que a variável inteira x do problema pertence a uma, e apenas uma, das classes 3k, 3k + 1 e 3k + 2. A partir disso, segue o desenvolvimento referente à primeira possibilidade x = 3k:

$\mathsf{\ \,\,\,\, \big(3k\big)^{2}\!-2}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2-2}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2+1-3}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2-3+1}\\\\\ \mathsf{=\ 3\underbrace{\mathsf{\big(3k^2-1\big)}}_{\in\ \mathbb{Z}}+\,1\:\neq\: M\'ult.3}$

Agora, ao considerarmos x = 3k + 1, temos:

$\mathsf{\quad\,\big(3k+1\big)^2-2}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2+6k+1-2}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2+6k+2-3}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2+6k-3+2}\\\\ \mathsf{=\ 3\underbrace{\mathsf{\big(3k^2+2k-1\big)}}_{\in\ \mathbb{Z}}+\,2\: \neq\: M\'ult.3}$

E por último, para x = 3k + 2:

$\mathsf{\ \ \ \,\big(3k+2\big)^2-2}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2+12k+4-2}\\\\ \mathsf{=\ 9k^2+12k+2}\\\\ \mathsf{=\ 3\underbrace{\mathsf{\big(3k^2+4k\big)}}_{\in\ \mathbb{Z}}+\,2\: \neq\:M\'ult.3}$

, como queríamos.

Obs.: a notação Múlt.3 significa "múltiplo de três".