Question

Prove que $\sqrt{3}$    e irracional; 

Passo a passo com os cálculos.

Answer 1

Seja a/b = √3 onde a/b  é uma fração irredutível, isto é mdc(a,b) = 1, estamos admitindo que √3 é racional. Quadrando a/b = √3
a² = 3b² => a²/3 = b². Perceba que a² é múltiplo de 3 e a também, pois se a não fosse múltiplo de 3, a² também não seria.
Uma vez que a é múltiplo de 3, então podemos escrever: n = a/3 => a = 3n.
De a² = 3b² => (3n)² = 3b² => 9n² = 3b² => 3n² = b² => n² = b²/3
Concluímos que b² é múltiplo de 3 implica b é múltiplo de 3, caso contrário b² não seria.
Como foi afirmado que a/b é irredutível, chegamos a conclusão de a/b = 3q/3n que não é irredutível, conclui-se, então que √3 é irracional.