Question

Prove que: $\sqrt{14+4 \sqrt{10}} - \sqrt{14-4 \sqrt{10}} = 4$

Answer 1

$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$ → é um radical duplo que pode ser simplificado para a forma:

$\sqrt{ \dfrac{A+C}{2} } \pm \sqrt{ \dfrac{A-C}{2} }$

Onde: $C= \sqrt{ A^{2}-B}$

Desta forma, vamos transformar os radicais do problema, de modo a que fiquem na forma de radicais duplos:

$\sqrt{14+ \sqrt{ 4^{2}. 10}} - \sqrt{14- \sqrt{ 4^{2}. 10}}$

$\sqrt{14+ \sqrt{ 16. 10}} - \sqrt{14- \sqrt{ 16. 10}}$

$\sqrt{14+ \sqrt{ 160}} - \sqrt{14- \sqrt{ 160}}$

Ambos os radicais duplos da diferença proposta têm os seguintes elementos:
$A=14$
$B=160$
$C= \sqrt{ A^{2}-B} = \sqrt{ 14^{2}-160} = \sqrt{ 196-160} = \sqrt{ 36} =6$

O primeiro deles ficará assim:

$\sqrt{ \dfrac{14+6}{2} } + \sqrt{ \dfrac{14-6}{2} }=\sqrt{ \dfrac{20}{2} } + \sqrt{ \dfrac{8}{2} }=\sqrt{ 10 } + \sqrt{ 4 }=\sqrt{ 10 } + 2$

O segundo deles ficará assim:

$\sqrt{ \dfrac{14+6}{2} } - \sqrt{ \dfrac{14-6}{2} }=\sqrt{ \dfrac{20}{2} } - \sqrt{ \dfrac{8}{2} }=\sqrt{ 10 } - \sqrt{ 4 }=\sqrt{ 10 } - 2$

Finalmente, façamos a diferença entre eles:

$(\sqrt{ 10 } + 2)-(\sqrt{ 10 } - 2)=\sqrt{ 10 } + 2-\sqrt{ 10 } + 2=4$

Portanto, está provada a igualdade proposta no problema.