Question

Prove que $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {i} = \dfrac{n\cdot(n + 1)}{2}$ para todo inteiro $n\geq 1$.

Answer 1

Mostrando que funciona para n=1:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{1} i = \dfrac{1\cdot2}{2} = 1$

Funciona.

Assumimos que funciona para k:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i = \dfrac{k\cdot(k+1)}{2}$

Utilizando isso para provar que serve para k+1.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}i = \dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

Observe que essa soma é igual a soma anterior somada com k+1:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}i = \dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i+(k+1) = \dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

Mas  $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}i = \dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$. Substituindo:

$\dfrac{k\cdot(k+1)}{2}+(k+1) = \dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

Dividindo ambos os lados por k+1.

$\dfrac{k}{2}+1 = \dfrac{(k+2)}{2}$

Multiplicando ambos os lados por 2:

$k+2 = k+2$

Como as duas expressões são iguais, temos que essa propriedade é verdadeira.