Question

Prove que:

$\begin{arrays}\mathsf{cos~(x)\cdot cos~(60-x)\cdot cos~(60+x)=\dfrac{cos(3x)}{4}}\end{arrays}$

$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$

Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Vamos lá:

Para resolver essa equação, é necessário ter em mente a fórmula do arco triplo, soma e subtração de arcos,em relação ao cosseno, que são, respectivamente:

$cos(3x)=4cos^{3}(x) -3cos(a)$
$cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sen(a)*sen(b)$
$cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sen(a)*sen(b)$

Aplicando à equação, temos:

$cos(x)*cos(60-x)*cos(60+x)= \frac{cos(3x)}{4}$

$cos(x)*(cos(60)*cos(x)+sen(60)*sen(x))*$
$(cos(60)*cos(x)-sen(60)*sen(x))= \frac{4cos^{3} (x)-3cos(x)}{4}$

$cos(x)*( \frac{cos(x)}{2})^{2} -( \frac{\sqrt{3}sen(x) }{2})^{2}=cos^{3}(x) - \frac{3}{4}cos(x)$
$\frac{cos^{2}(x) }{4} - \frac{3sen^{2}(x) }{4} =cos^{2}(x)- \frac{3}{4}$
$cos^{2} -3sen^{2}(x)=4cos^{2}(x)-3$
$cos^{2}(x)=3sen^{2}(x)+3cos^{2}(x)+cos^{2}(x)-3$
$cos^{2}(x)=cos^{2}(x)$

Portanto os dois membros da igualdade são iguais para qualquer valor de X.

Espero ter ajudado!

Answer 2

Enunciado:

Prove que:

cos x · cos(60° – x) · cos(60° + x) = (1/4) · cos(3x).

________


Solução:

Como complemento à resposta anterior (ótima resposta por sinal), segue uma outra forma de expandir o produto dos cossenos:

cos x · cos(60° – x) · cos(60° + x)          (i)


Identidades utilizadas:  cosseno da diferença e da soma entre dois arcos (fórmulas de Werner):

•   cos(a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b

•   cos(a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b


Para  a = 60°  e  b = x, temos então que

cos x · cos(60° – x) · cos(60° + x)

= cos x · (cos 60° · cos x + sen x · sen 60°) · (cos 60° · cos x – sen x · sen 60°)


Mas sabemos que  cos 60° = 1/2  e  sen 60° = (√3)/2:

= cos x · [ (1/2) · cos x + sen x · (√3)/2 ] · [ (1/2) · cos x – sen x · (√3)/2 ]


Multiplique os colchetes usando produtos notáveis, pois é o produto da soma pela diferença entre dois termos:

•  (p + q) · (p – q) = p² – q²


e a expressão fica

= cos x · [ (1/2)² · cos² x – sen² x · ((√3)/2)² ]

= cos x · [ (1/4) · cos² x – (3/4) · sen² x ]


Coloque (1/4) em evidência:

= (1/4) · cos x · [ cos² x – 3 · sen² x ]


Multiplique o fator  cos x  que está fora dos colchetes usando a propriedade distributiva:

= (1/4) · [ cos³ x – 3 · sen² x · cos x ]


Reescreva convenientemente  3 · sen² x · cos x  como  (1 + 2) · sen² x · cos x:

= (1/4) · [ cos³ x – (1 + 2) · sen² x · cos x ]

= (1/4) · [ cos³ x – (sen² x · cos x + 2 · sen² x · cos x) ]

= (1/4) · [ cos³ x – sen² x · cos x – 2 · sen² x · cos x ]


Colocando alguns termos comuns em evidência na expressão que está dentro dos colchetes:

= (1/4) · [ cos x · (cos² x – sen² x) – sen x · (2 · sen x ·  cos x) ]


Agora, é só usar as fórmulas do cosseno e do seno do arco duplo na expressão acima:

•  cos 2x = cos² x – sen² x

•  sen 2x = 2 · sen x · cos x


e a expressão fica

= (1/4) · [ cos x · cos 2x – sen x · sen 2x ]


Note que a expressão entre colchetes é a expansão do cosseno da soma de dois arcos (fórmula de Werner):

•  cos x · cos 2x – sen x ·  sen 2x = cos(x + 2x)


Substituindo na expressão, finalmente obtemos

= (1/4) · cos(x + 2x)

= (1/4) · cos(3x)          ✔


                                                                        cos(3x)
∴     cos x · cos(60° – x) · cos(60° + x)  =  ——————          ✔
                                                                             4

como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)


Tags:  desafio transformação trigonométrica produto de cossenos cos sen trigonometria