Question

Prove que:
$a_n=a_1+(n-1)r,\forall n\in \mathbb{N}$

Answer 1

Não é muito complicado, vamos lá:

Sendo a1 o termo primeiro dessa sequência, temos o seguinte padrão:

$a_{2}=a_{1}+r$

$a_{3}=a_{2}+r\\ a_{4}=a_{3}+r$

.

.

.

$a_{n}=a_{n-1}+r$

Agora basta somar essas n igualdades:

$a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+(n-1).r$

Observe que os termos iguais dos dois lados se cancelam, restando então:

$a_{n} =a_{1}+(n-1).r$

Assim está provado a fórmula do termo geral de uma P.A. para qualquer número n pertencente aos naturais.