Question

Prove que $30^{99}+61^{100}$ é divisível por $31$.

Answer 1

Veja que, $30\equiv(-1)\pmod{31}$.

Com isso, $30^{99}\equiv(-1)^{99}\equiv(-1)\pmod{31}$.

Analogamente, como $61\equiv30\equiv(-1)\pmod{31}$, segue que,

$61^{100}\equiv(-1)^{100}\equiv1\pmod{31}$.

Assim, $30^{99}+61^{100}=(-1)+1\equiv0\pmod{31}$.

Portanto, $30^{99}+61^{100}$ é divisível por $31$.