Question

Prove que seguinte afirmação é verdadeira para todo n∈Z com n ≥ 1:

A(n): a soma dos números ímpares consecutivos de 1 até 2n − 1 é igual ao quadrado do número n

1+3+5+⋅⋅⋅+(2n−1)=n2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A fórmula para a soma de uma progressão aritmética como essa de k ímpares é:

S=(k/2)*(a[1]+a[k])

Em que a[1] é o primeiro termo e a[k] é o último termo. Para a questão, a[1]=1 e a[k]=2n-1:

S=(k/2)*(1+2n-1)

Falta descobrir o valor de k. Isso pode ser descoberto pela fórmula que se usa para achar o termo de acordo com sua posição na sequência. Aplicando ela para o último termo ela tem a forma:

a[k]=a[1]+(k-1)*r, onde r é a razão da progressão.

A razão é a subtração de qualquer termo da progressão pelo seu antecessor e por verificação simples você descobre que é 2.

a[k]=a[1]+(k-1)*2

2n-1=1+(k-1)*2

2n-2=(k-1)*2

(2n-2)/2+1=k

(2n/2)=k

n=k

S=(k/2)*(1+2n-1)

S=(n/2)*(2n)

S=n²