Question

Prove que (segue a pergunta na imagem)

Answer 1

Resposta:

se jogar no google lim sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))-sqrt(x) vai achar um passo a passo maneiro tbm

Explicação passo-a-passo:

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x} } } - \sqrt{x} * \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x} } } + \sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x} } } + \sqrt{x}}$

é a mesma coisa que multiplicar pro 1, essa é uma assim usando a propriedade (a+b)(a-b) = $a^{2} - b^{2}$

teremos

$\frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x} } -x }{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x} } } +\sqrt{x} }$

teremos

$\frac{\sqrt{x+\sqrt{x} }}{\sqrt{x+\sqrt{x} +\sqrt{x} }+\sqrt{x} }$

colocando $\sqrt{x}$ em evidencia

$\frac{\sqrt{x * (1 + \frac{1}{\sqrt{x} }) }}{\sqrt{x*(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x} } }{x} }+\sqrt{x} }$

$\frac{\sqrt{x} * \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x} } }}{\sqrt{x} *(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x} } }{x}) + 1 } )}$

$\sqrt{x}$ corta

sobra o limite do numerador e denominador

o do numerador é simples mostrar que ira tender para 1

do numerador ira para 2

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x} } }{x} = 0$

$\frac{\sqrt{x+\sqrt{x} } }{x} = \sqrt{\frac{1}{x^{2} } } * \sqrt{x+\sqrt{x} } = \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x} }$ aplicando o limite chegamos a 0