Question

Prove que se z€C, Re(z)=Im(z)>0, então ARG(z)=π/4.

Answer 1

Considere Re(z) = Im(z) = a > 0

Marcando o afixo (Re(z),Im(z)) no plano complexo, vemos que esse ponto pertence ao primeiro quadrante

Trançando o segmento de reta que parte da origem até o afixo (cujo comprimento é o módulo de z), temos um triângulo retângulo, onde os catetos medem 'a', 'a' e a hipotenusa mede |z| = a√2

O ângulo entre o eixo real e o segmento em questão é o argumento de z

Calculando a tangente do argumento de z:

$tg~\theta=\dfrac{Im(z)}{Re(z)}=\dfrac{a}{a}=1,~~pois~a~\textgreater~0~\rightarrow~a\neq0$

Como o ângulo pertence ao primeiro quadrante e possui tangente 1, conhecemos sua medida, já que esse é um dos ângulos notáveis (45º ou π/4 rad)

$\boxed{\boxed{\theta=Arg(z)=\dfrac{\pi}{4}}}$