Question

Prove que, se um número real tem uma quantidade finita de dígitos, então ele é racional.

Dê um contra exemplo para a recíproca (isto é, dê exemplo de um número que é racional mas que possui infinitos dígitos).

Answer 1

Levando em conta um número finito qualquer:

     $\mathsf{a_n\ a_{n-1}\ a_{n-2}\ ...\ a_0,\ b_1\ ...\ b_k}$


Podendo ser representado da seguinte forma:

     $\underbrace{\mathsf{a_n\cdot 10^n+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2} ...\ a_0\cdot 10^0}}_\textsf{parte inteira}+\underbrace{\mathsf{b_1\cdot 10^{-1}...+b_k\cdot 10^{-k}}}_\textsf{parte decimal}$

Com n e k ∈ N  e k ≥ 1


Sendo:

a e b = dígitos

n = qtd. de dígitos na parte inteira − 1

k = qtd. de dígitos na parte decimal


 •   A quantidade de dígitos da parte inteira do número é n + 1, uma vez que a0 também é um dígito e conta como uma parcela da soma.

 •   O número em questão tem quantidade de dígitos do igual a n + 1 + k.


Se   $\mathsf{\frac{10^{k}}{10^{k}}=1}$ , podemos multiplicar x e seu valor não será alterado:

     $\mathsf{x=\dfrac{x\cdot 10^{k}}{10^{k}}}$


Observe que podemos afirmar que o denominador 10^k é um número inteiro pois o numerador é inteiro e positivo - quantidade de dígitos. O numerador também é inteiro, pois um número multiplicado por 10 elevado a sua quantidade de dígitos na parte decimal tem que ser inteiro. Se x pode ser escrito como uma fração de dois inteiros, x é racional.

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Um contra exemplo para recíproca são as dízimas periódicas. Uma delas está indicada a seguir:

     $\mathsf{\dfrac{1}{3}=0,333...}$


Perceba que o número é racional pois pode ser escrito como fração de dois inteiros 1/3 e o número 3 se repete indefinidamente em 0,333...


Bons estudos! =)