Question

Prove que se $k, r \in k, r \in \mathbb{R}$ e $A = [aij]_{(mxn)}$ é uma matriz $m x n$ então:

A) $k(rA) = (kr)A$
B)$(k + r)A = kA + rA$

Answer 1

Vou analisar somente um elemento $a_{ij}$, que pode ser qualquer um. O que valor pra esse elemento vai valer pra todos os outros e, portanto, pra toda a matriz.

a) $r.A \Leftrightarrow r.a_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n$

Façamos B = r.A, cujos elementos $b_{ij}$ são dados por $b_{ij}=r.a_{ij}$. Teremos:

$k.B \Leftrightarrow k.b_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n\\ \\ k.B=k.b_{ij}\Rightarrow k.B=k(r.a_{ij})\Rightarrow k.B=(k.r).a_{ij}\\ \\ \boxed{\boxed{k(r.A)=(kr).A}}$

b) Aqui vamos proceder de maneira semelhante ao item anterior:

$(k+r).A \Leftrightarrow (k+r).a_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n\\ \\ \mathrm{Distribuindo \ a \ mrltiplica\c{c}\~ao \ teremos}\\ \\ (k+r)A=k.a_{ij}+r.a_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n\\ \\ \boxed{\boxed{(k+r).A=k.A+r.A}}$


Aqui posso ter cometido um abuso de notação, mas foi a forma mais simples que encontrei de explicar esses produtos nas matrizes.