Question

Prove que, se $a^{7}$ e $a^{12}$ são racionais, então a é racional.

Answer 1

Resposta:

Consideremos duas possibilidades:

I) a = 0:

Neste caso, como 0 ∈ Q, a ∈ Q.

II) a ≠ 0:

Temos:

$a^{12} = a^{7}\, .\, \, a^{5}$

Como o lado esquerdo da igualdade é um número racional ($a^{12}$ ∈ Q), o lado direito também deve sê-lo. O produto de um número racional não nulo ($a^{7}$) por outro número só é racional quando este também o é. Logo, $a^{5}$ ∈ Q.

Considerando ainda que,

$a^{7} = a^{5}\, \,. \, \, a^{2}$,

temos que $a^{2}$ ∈ Q, pelas mesmas observações feitas anteriormente.

Ademais,

$a^{5} = a^{2}\, \, . \, \, a^{3}$   ⇒  $a^{3}$ ∈ Q

e

$a^{3} = a^{2}\, \,. \, \, a$   ⇒  $a$ ∈ Q,

chegando ao resultado que queríamos demonstrar.

Answer 2

Explicação passo a passo:

Para o caso trivial em que $a=0$, nada há a se provar, pois $a$ e todas as suas potências de expoente inteiro e positivo são racionais.

Caso $a\ne 0:$

Vamos escrever a equação a seguir:

    $(a^7)^x\cdot (a^{12})^y=a\qquad\mathrm{(i)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a^{7x}\cdot a^{12y}=a^1\\\\ \Longleftrightarrow\qquad a^{7x+12y}=a^1$

A exponencial em $a$ é injetiva, logo devemos ter necessariamente

    $\Longrightarrow\quad 7x+12y=1\qquad\mathrm{(ii)}$

Se a equação (ii) tiver soluções inteiras para as variáveis $x$ e $y,$ então podemos concluir que $a$ é racional, pois é o produto de potências de racionais com expoentes inteiros.

A equação (ii) é uma equação diofantina linear de duas variáveis, e possui soluções inteiras pois

    mdc(7, 12) = 1   e   1 | 1.

Logo, $a$ é racional, como queríamos demonstrar.

Obs.: A título de curiosidade, podemos resolver a equação e explicitar suas soluções. Aplicando o algoritmo de Euclides, podemos escrever

     $\begin{array}{lcl}12=7\cdot 1+5&\quad\Longrightarrow\quad&5=12\cdot 1-7\cdot 1\\\\7=5\cdot 1+2&\quad\Longrightarrow\quad &2=7\cdot 1-5\cdot 1\\ &&2=7\cdot 1-(12\cdot 1-7\cdot 1)\\ &&2=7\cdot 1-12\cdot 1+7\cdot 1\\ &&2=-12\cdot 1+7\cdot 2\\\\5=2\cdot 2+1&\quad\Longrightarrow\quad&1=5\cdot 1-2\cdot 2\\&&1=(12\cdot 1-7\cdot 1)\cdot 1-(-12\cdot 1+7\cdot 2)\cdot 2\\ &&1=12\cdot 1-7\cdot 1+12\cdot 2-7\cdot 4\\ &&1=12\cdot 3+7\cdot (-5) \end{array}$

Portanto, encontramos

    $7\cdot (-5)+12\cdot 3=1$

Logo, o par $(x,\,y)=(-5,\,3)$ é uma solução para a equação (ii), (embora não seja a única). A solução geral é dada por

    $(x,\,y)=(-5+12k,\,3-7k),\qquad\mathrm{com~}k\in\mathbb{Z}.$

Disso, podemos escrever explicitamente:

    $(a^7)^{-5+12k}\cdot (a^{12})^{3-7k}=a\qquad\checkmark$

para todo $k\in\mathbb{Z}.$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!