prove que se os pontos médios de um quadrilátero são vértices de um segundo quadrilátero, este é um paralelogramo!
Soluções para a tarefa
Respondido por
2
Observe a figura em anexo:
Considere os pontos os pontos 
como sendo vértices de um quadrilátero qualquer.
Os pontos 
são os pontos médios dos segmentos 
respectivamente.
Por abuso de linguagem, vou consider as coordenadas do ponto
como sendo o vetor 
sendo 
a origem do sistema de coordenadas utilizado.
Por exemplo, ao escrever
na verdade estaremos considerando o vetor 
Da fórmula para cálculo de ponto médio, temos que
Para provarmos que 
é um paralelogramo, basta provarmos que
são representantes do mesmo vetor:
![\overrightarrow{\mathbf{MN}}=N-M\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(B+C)-\dfrac{1}{2}\,(A+B)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[(B+C)-(A+B) \right ]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[\diagup\!\!\!\! B+C-A-\diagup\!\!\!\! B \right ]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C-A)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3DN-M%5C%5C+%5C%5C+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%2C%28B%2BC%29-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%2C%28A%2BB%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Cleft%5B%28B%2BC%29-%28A%2BB%29+%5Cright+%5D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Cleft%5B%5Cdiagup%5C%21%5C%21%5C%21%5C%21+B%2BC-A-%5Cdiagup%5C%21%5C%21%5C%21%5C%21+B+%5Cright+%5D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%2C%28C-A%29 "\overrightarrow{\mathbf{MN}}=N-M\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(B+C)-\dfrac{1}{2}\,(A+B)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[(B+C)-(A+B) \right ]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[\diagup\!\!\!\! B+C-A-\diagup\!\!\!\! B \right ]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C-A)")
Somando e subtraindo o vetor
não alteramos o vetor do lado esquerdo:
![\overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C+D-D-A)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot [(C+D)-(D+A)]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C+D)-\dfrac{1}{2}\,(D+A)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=P-Q\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\overrightarrow{\mathbf{QP}} \end{array}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%2C%28C%2BD-D-A%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5B%28C%2BD%29-%28D%2BA%29%5D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%2C%28C%2BD%29-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%2C%28D%2BA%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3DP-Q%5C%5C+%5C%5C+%5Cboxed%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BMN%7D%7D%3D%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BQP%7D%7D+%5Cend%7Barray%7D%7D "\overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C+D-D-A)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot [(C+D)-(D+A)]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C+D)-\dfrac{1}{2}\,(D+A)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=P-Q\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\overrightarrow{\mathbf{QP}} \end{array}}")
como queríamos demonstrar.
Por abuso de linguagem, vou consider as coordenadas do ponto
Por exemplo, ao escrever
são representantes do mesmo vetor:
Somando e subtraindo o vetor
como queríamos demonstrar.
Anexos:
Perguntas interessantes