Question

prove que, se n é um número inteiro positivo, então 2n^3-3n^2+n é divisível por 6.

Answer 1

Olá Daniboykessler.



Organizando a expressão.

• 2n³ - 3n² + n

Some e subtraia n³

• 2n³ - 3n² + n + (n³ - n³)

• 3n³ - 3n² - (n³ - n)

Coloque 3n² e n em evidência.

• 3n²(n - 1) - n(n² - 1)

No segundo membro apareceu o produto notável "diferença de dois quadrados"

a² - b² = (a - b)(a + b)

Usando o produto notável acima, temos.

• 3n²(n - 1) - n(n + 1)(n - 1)

Note que 3n²(n - 1) é claramente divisível por 3 pois aparece o fator multiplicativo 3 nessa parcela. Note também que 2 divide essa parcela, pois se n é ímpar, então n - 1 é par e portanto 2 divide um dos fatores dessa parcela. Se n é par então 2 divide n², logo 2 divide 3n²(n - 1).

Note que (n - 1)n(n + 1) é o produto de 3 números consecutivos, portanto, 3 dividira um deles.

Prova:

Os possíveis restos na divisão por 3 é 0, 1 ou 2. Se n deixa resto 0 na divisão por 3, então podemos escreve-lo da seguinte forma.

n = 3k.

Portanto, temos.

(n - 1)n(n + 1) = (3k - 1)3k(3k + 1)

Logo, 3 divide, pois parece o fator multiplicativo 3 nessa parcela.

Se n deixa resto 1 na divisão por 3, então podemos escreve-lo da seguinte forma.

n = 3k + 1

Portanto, temos.

(n - 1)n(n + 1) = 3k(3k + 1)(3k + 2)

Como aparece o fator multiplicativo 3, então 3 divide essa parcela.

Se n deixa resto 2, temos.

(n - 1)n(n + 1) = (3k - 1)(3k + 2)3(k + 1)

Portanto 3 divide essa parcela, pois há um fator multiplicativo 3.


Logo, 3 divide (n - 1)n(n + 1) para todo n inteiro.

Note também que 2 divide (n - 1)n(n + 1), pois se n for ímpar então n + 1 e n - 1 será par e portanto serão divididos por 2. Se n for par então evidentemente 2 divide (n - 1)n(n + 1). Logo 2 divide (n - 1)n(n + 1) para todo inteiro n.

Provamos então que 3 e 2 divide as duas parcelas 3n²(n - 1) e (n - 1)n(n + 1). Como ambos divide uma parcela e divide a outra parcela, então dividirá a soma ou a diferença entre essas duas parcelas, portanto 2 e 3 divide 2n³ - 3n² + n = 3n²(n - 1) - (n - 1)n(n + 1).

Podemos dizer também que o MMC(3, 2) dividirá 2n³ - 3n² + n. Mas o MMC(3, 2) é 6, logo, 6 divide 2n³ - 3n² + n como queríamos provar.

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