Question

Prove que se (2^a ; 2^b ; 2^c ) é uma P.G, então (a; b; c) é P.A

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Prove que se (a, b, c) formam, nesta ordem, simultaneamente uma PA e uma PG, então a = b = c.

Solução:

Se (a, b, c) formam uma PA temos:

2b = a + c ….(I)

Se (a, b, c) formam uma PG temos:

b² = ac …. (II)

Elevando a equação (I) ao quadrado temos:

4b² = a² + c² + 2ac

Substituindo a equação (II) teremos:

4ac = a² + c² + 2ac → a² – 2ac + c² = 0

(a – c)² = 0 → a – c = 0

a = c

Substituindo o resultado encontrado na equação (I) temos:

2b = a + a → b = a

Logo, a = b = c.

Como queríamos demonstrar.

Comentários:

Uma questão que envolve conceitos básicos de PA e PG, além de relações entre equações.