Question

Prove que :raiz quadrada de 3x/20 + raiz quadrada de x/15 - raiz quadrada de 5x/12 = 0, x>0
com conta pfvr é urgente

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Amigo, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para provar que a seguinte expressão é igual a zero:

√(3x/20) + √(x/15) - √(5x/12) = 0, para x > 0. Evidentemente que que deveríamos provar que a expressão é igual a zero para valores de "x" diferentes de zero, pois para x = 0 não iria ter nenhuma valia, pois se "x" fosse igual a zero, cada radical dado seria igual a zero e assim o resultado claro que iria ser igual a zero. E, assim, não teria nenhuma "vantagem" chegarmos ao resultado igual a zero. Por isso é que o importante é provar que o valor da expressão será igual a zero para x > 0. OK? Então vamos continuar.

Note que o que temos aí em cima é equivalente a:

√(3x)/√(20) + √(x)/√(15) - √(5x)/√(12) = 0  

Note que o mmc será o produto de todos os denominadores. Logo, o mmc será: √(20)*√(15)*√(12). Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[√(15)*√(12)*√(3x) + √(20)*√(12)*√(x) - √(20)*√(15)*√(5x)] / [√(20)*√(15)*√(12)] = 0 ------- desenvolvendo os produtos indicados, temos:

[√(15*12*3x) + √(20*12*x) - √(20*15*5x)] / [√(20*15*12)] = 0 ----- continuando o desenvolvimento, teremos:

[√(540x) + √(240x) - √(1.500x)] / [√(3.600)] = 0  ----- note que √(3.600) = 60. Assim, ficaremos com:

[√(540x) + √(240x) - √(1.500x)] / 60 = 0 ------ note que poderemos multiplicar em cruz, com o que ficaremos apenas com:

√(540x) + √(240x) - √(1.500x) = 0

Agora note mais isto e não esqueça mais:

→ 540, quando fatorado é: 2².3².3.5 = 2².3².15

→ 240, quando fatorado é: 2².2².3.5 = 2².2².15

→ 1.500, quando fatorado é: 2².5².3.5 = 2².5².15

Assim, fazendo as devidas substituições na nossa expressão, teremos:

√(2².3².15x) + √(2².2².15x) - √(2².5².15x) = 0 ----- agora note mais isto: o fator primo que estiver elevado ao quadrado sairá de dentro da respectiva raiz quadrada. Assim, ficaremos da seguinte forma:

2.3√(15x) + 2.2√(15x) - 2.5√(15x) = 0  ----- desenvolvendo, temos:

6√(15x) + 4√(15x) - 10√(15x) = 0 ---- note que poderemos colocar √(15x) em evidência, pois é um fator comum a todos os outros fatores do primeiro membro. Então vamos colocá-lo em evidência, ficando assim:

√(15x)*[6 + 4 -  10] = 0 ---- efetuando a soma algébrica do que há dentro dos colchetes, teremos:

√(15x)*[ 0 ] = 0 ------ como tudo o que multiplica "0" resulta também em "0", então está provado que temos uma igualdade:

0 = 0 ------ Isto prova que a expressão original da sua questão é igual a zero, para todo e qualquer x > 0.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.