Question

Prove que quando a+b+c=0, a igualdade a³+b³+c³=3abc é verdadeira.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$a+b+c=0$

elevando ambos os membros ao cubo

$(a+b+c)^{3}=0^{3}\\\\a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)+6abc=0\\\\\\a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab(a+b+c-c)+3ac(a+b+c-b)+3bc(a+b+c-a)=-6abc\\\\\\a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab(-c)+3ac(-b)+3bc(-a)=-6abc\\\\\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc-3abc-3abc=-6abc\\\\\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-9abc=-6abc\\\\\\a^{3}+b^{3}+c^{3}=9abc-6abc\\\\\\a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

Podemos fazer assim também

a+b+c=0

a=-b-c      (elevando ambos os membros ao cubo)

a³=(-b-c)³

a³=-b³-3b²c-3bc²-c³

a³+b³+c³=-3bc(b+c)  

somando e subtraindo a entre os parênteses

a³+b³+c³=-3bc(a+b+c-a)   como a+b+c=0

a³+b³+c³=-3bc(-a)

a³+b³+c³=3abc

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Temos que

a³ + b³ + c³ = 3abc (I)

a + b + c = 0 => a = - b - c (II)

a³ = (- b - c)³ = -b³ - 3b²c - 3bc² - c³ (III)

Substituindo (III) em (I), vem que

a³ + b³ + c³ = 3abc => -b³ - 3b²c - 3bc² - c³ + b³ + c³ = 3abc => -3b²c - 3bc² = 3abc (IV)

Substituindo (II) em 3abc, vem que 3(- b - c)bc = 3(-b²c - bc²) = -3b²c - 3bc² (V)

Comparando (IV) e (V), temos que

-3b²c - 3bc² = 3abc => -3b²c - 3bc² = -3b²c - 3bc², como queríamos demonstrar.