Question

Prove que para qualquer número inteiro positivo n o número 2^2n - 1 é divisível por 3

Answer 1

Vamos provar por indução.

Vamos supor primeiro que 2^(2n) -1=R, para um n PARTICULAR, e R é divisível por 3. Para (n+1):

2^(2(n+1))-1 = 2^(2n+2) - 1 = 2^(2n).2^2 - 1 = 4.2^(2n)-1 (1)

Como 2^(2n)=R+1, temos que (1)

4.(R+1)-1 = 4R+4-1 = 4.R+3 (2)

=> então 2^(2(n+1)) -1 é divisível por 3, dado que R=2^(2n) -1 é divisível por 3.

Agora, para n=1, temos que R=2^(2.1)-1 = 3

Assim, podemos afirmar por indução que 2^(2n) - 1 é divisível por 3

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Resposta:

Provamos que:

1) n=1, 2^(2n)-1 = 3 e é divisível por 3

2) se 2^(2n)-1=R, para um n particular é divisível por 3, então

2^(2(n+1))-1 = 4R+3, e será divisível por 3 também.

3) Por indução, 2^(2n)-1 é divisível por 3, para todo n positivo.