Question

Prove que:
Para qualquer n natural positivo.

$2 {}^{n} + 2 {}^{n + 2}$
Sempre será múltiplo de 10.​

Answer 1

Vamos provar que, para todo inteiro positivo (ou natural não nulo) n, a soma de potências

$\mathsf{2^n+2^{n+2}}$

resultará sempre em um múltiplo positivo de 10 (dez). Para isso, basta partir da expressão (soma de potências) acima e proceder da seguinte maneira:

$\mathsf{\ \ \: \,\,\,2^{n}+2^{n+2}}\\\\ \mathsf{=\ 2^n+2^n\cdot 2^2}\\\\ \mathsf{=\ 2^n\cdot \big(1+2^2\big)}\\\\ \mathsf{=\ 2^n\cdot 5}\\\\ \mathsf{=\ 2^{n-1}\cdot 2^1\cdot 5}\\\\ \mathsf{=\ 2^{n-1}\cdot 10}$

, como queríamos demonstrar.

Obs.: note que o resultado obtido sempre será um múltiplo positivo de dez, ao passo que n é um natural maior ou igual a 1 (um).