Question

Prove que os polinômios −1,−1 + x,1−x2,1 + x + x2 + x3 formam uma base de P3(R).

Answer 1

Olá!
 
     Para mostrar que é uma base, devemos mostrar que gera o espaço e que o conjunto destes vetores é LI.
  
    Seja    $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$   um vetor em   $P_3(\mathbb{R}).$  Vejamos como fica a combinação linear de   $p(x)$   nos vetores dados no enunciado. Para isso, considere as constantes reais   $\alpha,\beta,\gamma,\delta.$   Então


$p(x)=\alpha\cdot(-1)+\beta\cdot(-1+x)+\gamma\cdot(1-x^2)+\delta\cdot (1+x+x^2+x^3)\\ \\ \text{Segue que:} \\ \\ p(x)=x^3(\delta)+x^2(\delta-\gamma)+x(\delta+\beta)+(\delta+\gamma-\beta-\alpha)\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcr}\delta&=&a\\ \delta-\gamma&=&b\\ \delta+\beta&=&c \\ \delta+\gamma-\beta-\alpha&=&d \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcr}\delta&=&a\\ \gamma&=&a-b\\ \beta&=&c-a \\ \alpha&=&a+a-b+a-c-d \end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcr}\delta&=&a\\ \gamma&=&a-b\\ \beta&=&c-a \\ \alpha&=&3a-b-c-d \end{array}\right.$


     Agora tome a combinação linear nula dos vetores dados. Daí


$\alpha(-1)+\beta(-1+x)+\gamma(1-x^2)+\delta(1+x+x^2+x^3)=0\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcr}\delta&=&0\\ \delta-\gamma&=&0\\ \delta+\beta&=&0 \\ \delta+\gamma-\beta-\alpha&=&0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \alpha=\beta=\gamma=\delta=0.$

Ou seja, o conjunto formado pelos vetores do enunciado é LI.


     Portanto,

$\{-1,\;-1+x,\;1-x^2,\;1+x+x^2+x^3\}$

é uma base para   $P_3(\mathbb{R}).$



Bons estudos!