Question

Prove que os numeros reais não é enumerável

Answer 1

Eu conheço uma prova por absurdo usando a ideia de diagonalidade de Cantor (não sei direito se é teorema ou método, você vai ver como funciona na prova).
Suponha, por absurdo que o conjunto dos números reais é enumerável.
Então eu posso escreve-los em uma certa ordem:
 x₁ = 0,a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄......a₁n.....   (esse n é subscrito junto com o = a1n)
 x₂ = 0,a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄...
 x₃ = 0,a₃₁a₃₂a₃₄a₃₅...
...
xn = 0,an1an2an3....
....

(Esses números são do tipo 0,1233452.... etc. Depois tem 1,... mas assim já está bom).

A ideia da diagonal de Cantor é a seguinte:
pegue um  número do tipo: n = 0,ax1ax2ax3... onde o primeiro número é diferente de x1 na primeira casa decimal (então ele não é x1), é diferente de x2 na segunda casa decimal (não é o x2), é diferente de x3 na terceira casa decimal (não é x3) etc. (Esse número é possível de ser construído porque cada casa decimal é um número natural e, pra qualquer número sempre posso encontra um diferente. Ex: 0,4567 começo o número com 0,5567)
Então eu construí um número que é diferente de todos os números enumerados acima. Isso é absurdo porque aquela sequência deveria conter todos os reais. Então o conjunto dos R não é enumerável. cqd