Question

Prove que o triângulo cujos vértices são A (2, 2), B (-4, -6) e C (4, -12) é retângulo. (DISTANCIA ENTRE OS PONTOS)

Answer 1

É possível (e mais fácil!) resolver esse problema com produto escalar de vetores. Entretanto, como foi pedido, faremos por distância entre pontos.

A fórmula para a distância entre dois pontos $P(x_1, y_1)$ e $Q(x_2, y_2)$ no plano cartesiano é dada por

$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Assim, calculemos as distâncias $AB$, $BC$ e $CA$:

$AB = \sqrt{(-4 -2)^2 + (-6 -2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10$ u.m.

$BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-12 - (-6))^2} = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100} = 10$ u.m.

$CA = \sqrt{(2 - 4)^2 + (2 - (-12))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (14)^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ u.m.

Agora, basta verificar se o triângulo $ABC$ satisfaz o teorema de pitágoras para alguma ordem dos lados:

$AB^2 + BC^2 = CA^2\\10^2 + 10^2 = (10\sqrt{2})^2\\100 + 100 = 200$

Voilà! Como queríamos demonstrar!