Question

Prove que o quadrado de um número impar sempre deixa resto 1 quando divisível por quatro.​

Answer 1

Resposta:

(i) Provar que se nn é ímpar, então n^{2}n

2

também é ímpar.

Se nn é ímpar, então

\begin{gathered}n=2k+1,\;\;k \in \mathbb{N}\\ \\ n^{2}=\left(2k+1 \right )^{2}\\ \\ n^{2}=\left(2k \right )^{2}+2\cdot 2k\cdot 1+1^{2}\\ \\ n^{2}=4k^{2}+4k+1\\ \\ n^{2}=2\cdot \left(2k^{2}+2k \right )+1\\ \\ n^{2}=2p+1,\;\;p=2k^{2}+2k\end{gathered}

n=2k+1,k∈N

n

2

=(2k+1)

2

n

2

=(2k)

2

+2⋅2k⋅1+1

2

n

2

=4k

2

+4k+1

n

2

=2⋅(2k

2

+2k)+1

n

2

=2p+1,p=2k

2

+2k

Answer 2

Resposta:

Todo número ímpar pode ser inscrito na forma 2k+1. Então:

${ (2k + 1)}^{2} \\ {4k}^{2} + 2 \times 2k \times 1 + {1}^{2} \\ {4k}^{2} + 4k + 1 \\ \bf \: \: 4 {k}^{2} \: \: e \: \: divisivel \: \: por \: \: 4 \: \: 4k \: \: tambem \\ \bf \: 1 \: \: deixa \: \: resto \: \: 1$

Com isso ,provamos que o quadrado de um número ímpar sempre deixa resto 1 ao dividir por 4.

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