Matemática, perguntado por luli14, 1 ano atrás

prove que o produto de um número par qualquer por um número ímpar qualquer e um número par

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após desenvolver toda a demonstração algébrica, concluímos que o produto de um número par com um número ímpar sempre resultará em um número:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Par\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a proposição:

"O produto de um número par com um número ímpar sempre é par."

Para provarmos esta proposição devemos utilizar o processo algébrico.

Reescrevendo a referida proposição na forma "se/então", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underbrace{Se\:x\:\acute{e}\:par\:e\:y\:\acute{e}\:impar}_{\bf hip\acute{o}se},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:x\cdot y\:\acute{e}\:par.}_{\bf tese} \end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\:\acute{e}\:par\Longrightarrow \exists\lambda\in\mathbb{Z}\:|\:x = 2\lambda \end{gathered}$}$

E, se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y\:\acute{e}\:impar\Longrightarrow \exists\gamma\in\mathbb{Z}\:|\:y = 2\gamma + 1 \end{gathered}$}$

Desta forma, podemos dizer que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = 2\lambda \cdot(2\gamma + 1) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 4\lambda\gamma + 2\lambda \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 2(2\lambda\gamma + \lambda) \end{gathered}$}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = 2\cdot\underbrace{(2\lambda \gamma + \lambda)}_{\bf k} \end{gathered}$}$

Desta forma, temos que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = 2k,\:\:\:\forall k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$}$

Como o segundo membro da equação "III" é igual ao dobro do número inteiro "k" e sabendo que o dobro de qualquer número inteiro é sempre um número par, então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y\:\:\:\acute{e}\:\:\:par \end{gathered}$}$