Question

Prove que o produto de k inteiros positivos consecutivos sempre será divisível por k!.

Answer 1

O fatorial é a multiplicação de números consecutivos inteiros positivos, ou seja, é a multiplicação de números naturais consecutivos. Sabendo que ele quer o produto de números consecutivos a partir de k, e k! é exatamente isso, esse produto se torna divisível por k!

k . (k-1) . (k-2) / k!

k! = k(k-1)(k-2)

Answer 2

Provaremos aqui que o produto de quaisquer k ≥ 2 inteiros positivos consecutivos é sempre divisível por k! (fatorial de k). Para isso, considere primeiramente a sequência numérica:

$\sf{S=\big(x_1\,,\, x_2\,,\,x_3\,,\, x_4\,,\, \cdots\,,\, x_{k-1}\, ,\, x_k \big)}$

, constituída de k inteiros positivos sucessivos, gerados a partir de um valor inicial (primeiro elemento) x₁ arbitrariamente escolhido. Repare ainda que S é um tipo de Progressão Aritmética (P.A.) crescente, de primeiro termo x₁ e razão 1 (um). Por este motivo, temos que qualquer elemento (termo) seu pode ser escrito em função de x₁, com o auxílio da fórmula do termo geral de uma P.A. Ou seja:

$\sf{x_2\ \: =\ \: x_1+1}\\\ \sf{x_3\ \: = \ \: x_1+2}\\ \sf{x_4\ \: =\ \: x_1+3}\\ \sf{\vdots\qquad \vdots\qquad \vdots}\\ \sf{x_k\ \: =\ \: x_1 +k-1}$

Dessa maneira, a sequência S pode ser escrita como (x₁ , x₁ + 1 , x₁ + 2 , ... , x₁ + k – 1). Nosso objetivo é analisar e manipular o produto de todos os termos de S, a fim de comprovar sua divisibilidade por k!. Sendo assim, é preciso lembrar que k! é, por definição, o produto dos k primeiros inteiros positivos. Mais precisamente:

$\sf{k!=\displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}i=1\cdot 2\cdot 3 \cdot\: \dots\: \cdot (k-2)\cdot (k-1)\cdot k}$

Lembremos também dos famosos números binomiais (ou coeficientes binomiais), que são expressões matemáticas definidas por meio de um quociente de expressões fatoriais. Matematicamente, o coeficiente binomial de classe p, do número n, é um natural positivo expresso por:

$\sf{\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\big(n-p\big)!}=C_{n}^{p}}$

, em que n e p são números naturais, com n ≥ p. Agora, vamos multiplicar os elementos de S e "ajeitar" o produto de forma conveniente. Multiplicando todos eles, temos o seguinte:

$\sf{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \: \dots\: \cdot\: x_{k-1}\cdot x_k=\displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}x_i\qquad (i)}$

A ideia é fazer com que a multiplicação acima seja expressa, de maneira equivalente, por fatoriais. Como vimos, x₁ é escolhido, dentre todos os possíveis valores que este pode assumir (naturais positivos), de maneira arbitrária. Ou seja, diferentemente do fatorial do k-ésimo termo da sequência S, que é o produto P dos primeiros inteiros positivos até este valor, a multiplicação (i) começa por x₁, e este pode ou não ser o número 1. Para "driblar" esse problema, teremos que encontrar o valor pelo qual devemos multiplicar o produtório (forma compacta de uma multiplicação) acima, sem alterá-lo, de modo a obter P. Não é difícil perceber que o referido valor é (x₁ – 1)!/(x₁ – 1)!, pois este é o quociente unitário (de valor um) que, ao ser multiplicado por (i), gera uma expressão contendo P. Em seguida, fazendo uso da definição de fatorial, garantimos a validade da igualdade abaixo:

$\sf{\big(x_1-1\big)!=\displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{x_1-1}i}$

Como já conhecemos todas as ferramentas e conceitos necessários para provar o teorema em questão, vamos à sua demonstração:

$\sf{\qquad\quad \ \ \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}x_i=\dfrac{\displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{x_1-1}i\,\: \cdot\: \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}x_i}{\displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{x_1-1}i}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}x_i=\overbrace{\sf \dfrac{\displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{x_1-1}i\,\:\cdot\: \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}\big(x_1+i-1\big)}{\underbrace{\sf \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{x_1-1}i}_{(x_1-1)!}}}^{(x_1+k-1)!}}$

$\sf{\iff\ \ \ \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}x_i=\dfrac{\big(x_1+k-1\big)!}{\big(x_1-1\big)!}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}x_i=k!\ \cdot\ \underbrace{\sf \dfrac{\big(x_1+k-1\big)!}{k!\big(x_1-1\big)!}}_{\binom{x_1+k-1}{k}}}\\\\\\\\ \sf{\quad\ \therefore\ \ \ \boxed{\sf \displaystyle\prod_{i\,=\,1}^{k}x_i=k!\ \cdot\ \underbrace{\sf \dbinom{x_1+k-1}{k}}_{\in\: \mathbb{N}^{*}}}}$

, como queríamos.

Obs.: o coeficiente binomial de classe k, do número x₁ + k – 1, está perfeitamente definido, ao passo que x₁ + k – 1 ≥ k. Segue em anexo uma possível explicação referente ao fato dos números binomiais terem como resultado um natural positivo.

459baf1f3e0161a382312457ea8fe82d.pdf