Matemática, perguntado por andressakely5, 1 ano atrás

prove que o produto de dois numeros inteiros é impar se, e somente se, ambos os numeros sao impares

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

Admitamos dois números ímpares que podem ser escritos como: $a1 = 2k_{1} + 1 \\ a2 = 2k_{2} + 1 , com$ e , com .∈Z

(2k_1+1)(2k_2+1)= 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2+ 1= 2(2k_1k_2+k_1+k_2)+1

é claramente um número ímpar (dado que qualquer número multiplicado por 2 é um par e um número par + 1 é um número ímpar)!

Respondido por solkarped

✅ Após desenvolver toda a demonstração algébrica, concluímos que o produto de dois números ímpares resulta sempre em um número:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Impar\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a proposição:

"O produto de dois números ímpares é sempre ímpar."

Para provarmos esta proposição devemos utilizar o processo algébrico.

Reescrevendo a referida proposição na forma "se/então", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underbrace{Se\:x\:\acute{e}\:impar\:e\:y\:\acute{e}\:impar}_{\bf hip\acute{o}se},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:x\cdot y\:\acute{e}\:impar.}_{\bf tese} \end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\:\acute{e}\:impar\Longrightarrow \exists\lambda\in\mathbb{Z}\:|\:x = 2\lambda + 1 \end{gathered}$}$

E, se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y\:\acute{e}\:impar\Longrightarrow \exists\gamma\in\mathbb{Z}\:|\:y = 2\gamma + 1\end{gathered}$}$

Desta forma, podemos dizer que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = (2\lambda + 1)\cdot(2\gamma + 1) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 4\lambda\gamma + 2\lambda + 2\gamma + 1 \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 4\lambda\gamma + 2(\lambda + \gamma) + 1 \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 2[2\lambda\gamma + (\lambda + \gamma)] + 1 \end{gathered}$}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = \underbrace{2[2\lambda \gamma + (\lambda + \gamma)]}_{\bf k} + 1\end{gathered}$}$

Desta forma, temos que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = k + 1,\:\:\:\forall k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$}$

Como o primeiro termo do segundo membro da equação "III" é igual a um número par, então adicionando-se este número à unidade, teremos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y\:\:\:\acute{e}\:\:\:impar \end{gathered}$}$