Question

Prove que o número pi (π) é irracional.

Obs: É válido usar redução ao absurdo​

Answer 1

Vamos lá!

Conjuntos numéricos:

Foram formas que os matemáticos encontram de dividir os números em classificações distintas, as quais podemos listar a seguir:

• Números naturais: São todos aqueles não decimais, não negativos e não imaginários.
• Números inteiros: São todos aqueles não decimais e não imaginários, porém inclui os negativos.
• Números racionais: São todos aqueles não imaginários e não inclui as dízimas não periódicas.
• Números irracionais: São todos aqueles formados por dízimas não periódicas e não são imaginários.
• Números reais:  (Números racionais) ∪ (Números irracionais) = (Números reais).
• Números complexos: São todos os números que conhecemos, desde os naturais, até os imaginários.

Então, ao se pautar na afirmação de que π (pi) é um número imaginário, estaríamos dispostos a provar tal afirmação dentre os conjuntos presentes nos reais, mas como? Bom, veremos:

• pi (π) equivale à 3,14159...
• Então ele não pode ser natural, pois este contém parte decimal, muito menos inteiro.
• Então, estaríamos somente dispostos a ver se ele é Racional ou Irracional, pois fazer parte dos conjuntos Real e Complexo ele já faz parte.

O número pi (π):

O número pi (π) é um número irracional (que provaremos posteriormente) que é dado pela razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, cuja divisão tem ser proporcional e bem próxima ou valor irracional pi (π), assim, o número e dado por:

$\Large\text{ {\pi \approx \frac{p}{d} } }$

Pi é irracional??  Prove!!

Negando a tese de que π (pi) é um número irracional, teríamos a nova "proposição" que seria, "π (pi) é um numero racional", então teríamos de se "apropriar" de uma propriedade dos números racionais para provar que "π (pi) é racional".

Então, como provaríamos isso? Lembre-se, todos os números racionais, mais especificamente os decimais periódicos apresentam uma forma de mostrar a fração geradora desse número, técnica chamada de "fração geratriz", em que, no numerador, teríamos que subtrair o número completo (sem vírgulas) com os algarismos que não se repetem (parte inteira e anti-período), e no denominador, a quantidade de algarismos do período determina a quantidade de "noves" e a quantidade de algarismos do anti-período determina a quantidade de "zeros", tudo isso num número só.

Embora, ao analisar o número pi (π), temos que ele é somente constituído de anti-período e parte inteira, assim ficando:

$\Large\text{ {\frac{\pi\:\:-\:\:\pi}{000...} = \frac{0}{0} \Longrightarrow\:Indeterminado.} }$

Como que, ao tentar tirar a fração geratriz de pi (π), obtemos por conseguinte uma indeterminação, retiramos a hipótese de que pi (π) é periódico e consequentemente de que o mesmo é Racional. Portanto, ele só pode ser IRRACIONAL.

Assim provamos que pi (π) é Irracional.

Resumo da ópera:

• Obtemos por lógica que pi (π) não é natural, nem inteiro, mas faz parte dos Reais e Complexos, então foi-se criado uma espécie de "briga" do número pi (π) para dois conjuntos, os racionais e irracionais, cuja prova foi obtida anteriormente.
• Para a prova, utilizou-se uma propriedade dos periódicos racionais que é a fração geratriz em que os mesmos podem-se obter a fração geradora desse número, cujo resultado foi indeterminado para pi (π), assim negando que pi (π) é periódico e por conseguinte que ele é racional.

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.

Aprenda mais sobre demonstração:

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