Question

prove que o conjunto P={0,2,4,6,...} dos numeros pares é enumerável

Answer 1

O conjunto dos números pares $P=\{0,2,4,6,\dots\}$ é infinito contável se existir uma bijeção $f$ entre $P$ e o conjunto dos números naturais $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$.

Uma vez que os números pares correspondem aos múltiplos de 2, considera-se a bijeção $f:P\to\mathbb{N}$ definida por $f(n) = \dfrac{n}{2}$. Provemos agora que $f$ é, de facto, uma bijeção:

Por um lado, $f$ é sobrejetiva, visto que o conjunto-imagem de $P$ é simplesmente o conjunto dos números naturais: $f(P)=\mathbb{N}$.

Por outro lado, $f$ é estritamente crescente, pois:

$f(n+1)-f(n) = \dfrac{n+1}{2}-\dfrac{n}{2} = \dfrac{1}{2}>0 \iff f(n+1)>f(n).$

Como tal, $f$ é necessariamente injetiva.

Portanto, uma vez que existe a bijeção pretendida, $P$ é, de facto, infinito contável.