Question

Prove que não existe inteiro entre 0 e 1.

Answer 1

Explicação passo a passo:

Primeiramente, enunciaremos o Princípio da Boa Ordem, que será utilizado para a demonstração pedida.

Princípio da Boa Ordem (PBO): Todo subconjunto não-vazio de ℕ possui elemento mínimo, isto é,

    para todo A ⊆ ℕ, A ≠ Ø, existe um n₀ ∈ A tal que, para todo n ∈ A, n₀ ≤ n.

Teorema: Não existe número inteiro entre 0 e 1.

Demonstração:  Seja A = {n ∈ ℕ:  0 < n < 1}. Suponha por absurdo que A é não-vazio. Então pelo PBO, existe um n₀ ∈ A, tal que n₀ é elemento mínimo de A. Como n₀ ∈ A, devemos ter

    ⟹   0 < n₀ < 1     (i)

Multiplicando todos os membros da desigualdade acima por n₀, temos

    ⟹   0 < n₀² < n₀     (ii)

Por (i) e (ii), concluimos que

    ⟹   0 < n₀² < n₀ < 1

    ⟹   n₀² ∈ A   e   n₀² < n₀     (iii)

Aqui temos uma contradição em (iii), pois concluímos que n₀² ∈ A, no entanto, como n₀ é elemento mínimo de A, não podemos ter n₀² < n₀.

Portanto, A é vazio, ou seja, não existe inteiro entre 0 e 1.

Bons estudos! :-)