Question

Prove que n² > 5n+10 para n > 6?

Answer 1

Resposta:

Dada a sentença aberta $p$ assim definida:

$p(n): n^2 > 5n + 10,$

demonstremos que ela é verdadeira para todo elemento do conjunto $S$:

$S = \left\{n \in \mathbb{Z}\,\,|\,\,n > 6 \right\} = \left\{ 7, 8, 9, 10, 11, ... \, \right\}$.

Façamos a demonstração utilizando o Princípio da Indução Finita.

Inicialmente, verifiquemos se ela é válida para o menor elemento de $S$, isto é, para $n = 7:$

$7^2 = 49;\\\\7\cdot 5 + 10 = 45;$

$7^2 > 5\cdot 7 + 10$ $\Longleftrightarrow p(7)$ é verdadeira.

Em seguida, assumamos que $p(k)$ é verdadeira, para algum $k \geq 7.$

Hipótese: $k^2 > 5k + 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I).$

Ora, por hipótese, $k \geq 7.$ Assim:

$k \geq 7 \Rightarrow k > 2 \Longleftrightarrow 2k > 4 \Longleftrightarrow 2k + 1 > 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II).$

De $(I)$ e $(II),$ obtemos:

$k^2 + 2k + 1 > 5k + 10 + 5\\\\\Longleftrightarrow (k + 1)^2 > 5(k + 1) + 10$

$\Rightarrow p(k + 1)$ é verdadeira.

Em resumo:

$p(7)$ é verdadeira;

$\forall \,k , k \geq 7, p(k) \Rightarrow p(k+1);$

$\Rightarrow p(n)$ é verdadeira, $\forall \,\, n \in S,$

Q.E.D.