Question

Prove que int(X) é o maior subconjunto aberto de X.

Answer 1

1) Asuma que ha um conjunto aberto A tal que 
                      $Int(X)\subset A\subset X$

2) Se X é aberto entao $X=Int(X)$ e por consiguiente $A=Int(X)$

3) Se X nao é aberto. Supongamos que $A\not\subset Int(X)$.
Por otra parte $Int(X)=X-\partial X$ entao

$y\in A-Int(X)\iff y\in A\wedge y\notin Int(X)\\ \\ y\in A-Int(X)\iff y\in A\wedge y\notin (X-\partial X)\\ \\ y\in A-Int(X)\iff y\in A\wedge (y\notin X \vee y\in \partial X)\\ \\ \texttt{Veja que :} A\subset X\\ \\ y\in A-Int(X)\Longrightarrow y\in X\wedge (y\notin X \vee y\in \partial X)\\ \\ y\in A-Int(X)\Longrightarrow y\in \partial X\\ \\ y\in A-Int(X)\Longrightarrow y\in A\wedge y\in \partial X\\ \\ y\in A-Int(X)\Longrightarrow y\in \emptyset$


$\therefore A-Int(X)=\emptyset\equiv \boxed{A=Int(X)}$