Question

prove que em um triangulo ABC de lados a=/BC/, b=/AC/ e c=/AB/ vale o seguinte formula a^2= b^2 + c - 2bccos∆

Answer 1

                           B


A                        D                C
Seja o ΔABC: cada lado oposto aos vértices serão nomeados com suas respectivas minúsculas.
Então AB = c     AC = b    BC = a
Seja a projeção de  "a" sobre AC ⇒ a'
Seja a projeção de "c" sobre AC ⇒ c'
No Δ BDC  a² = BD² + (a')²
Considerando que a' = b - c'
a² = BD² + (b - c')²
a² = BD² + b² - 2bc' + (c')²  RELAÇÃO I
observando no ΔABD ⇒ c²  = BD² + c'²  RELAÇÃO II
substituindo RELAÇÃO II na RELAÇÃO I
a² = b² + c² - 2bc' RELAÇÃO III que nos trás a afirmação de num Δ qualquer acutângulo um lado ao quadrado é igual à  soma dos quadrados dos outros dois  lados menos  o duplo produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
Considerando relação trigonométrica dos Δ  retângulos onde um cateto é a hipotenusa multiplicada pelo cosseno do ângulo adjacente deste cateto com a hipotenusa observamos no ΔABD que c' = c[cosA]  RELAÇÃO IV
Substituindo RELAÇÃO IV na RELAÇÃO III
a² = b² + c²  - 2bc[cosA]
ou seja um lado ao quadrado é a soma dos quadrados dos outros dois lados menos o duplo produto deles multiplicado pelo cos do ângulo por eles formado.