Question

Prove que em todo triângulo pitagórico, um de seus lados é sempre um múltiplo de 5.

Answer 1

Considere um triângulo pitagórico, cujos catetos medem a, b, e a hipotenusa mede c.

Assim, temos a² + b² = c².

Observemos os quadrados dos algarismos de 0 a 9:

0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81

Observando os últimos dígitos, podemos afirmar que

• Se um número n é quadrado perfeito, então o dígito das unidades deste número necessariamente pertence ao conjunto A = {0, 1, 4, 5, 6, 9}.

• Se o dígito das unidades de um número n não pertence a A, então este número n não é quadrado perfeito.

• Se o dígito das unidades de um número n² quadrado perfeito é 0 ou 5, então o dígito das unidades de n é 0 ou 5.

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Se a, b, c formam uma terna pitagórica e algum dos catetos a ou b é múltiplo de 5, a verificação é imediata.

Dessa forma, estudaremos apenas os casos em que nenhum dos catetos é múltiplo de 5.

As únicas possibilidades para os dígitos das unidades de a² e de b² estão no conjunto A \ {0, 5} = {1, 4, 6, 9}. Os casos possíveis são:

(1.) a² ≡ b² ≡ 1 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 2 (mod 10)
⇒ c² ≡ 2 (mod 10)
⇒ c² não é quadrado perfeito, pois 2 ∉ A
⇒ a, b, c não formam uma terna pitagórica.

(2.) a² ≡ 1, b² ≡ 4 (mod 10)
ou
a² ≡ 4, b² ≡ 1 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 5 (mod 10)
⇒ c² ≡ 5 (mod 10)
⇒ é possível que c² seja quadrado perfeito, pois 5 ∈ A.

(3.) a² ≡ 1, b² ≡ 6 (mod 10)
ou
a² ≡ 6, b² ≡ 1 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 7 (mod 10)
⇒ c² ≡ 7 (mod 10)
⇒ c² não é quadrado perfeito, pois 7 ∉ A
⇒ a, b, c não formam uma terna pitagórica.

(4.) a² ≡ 1, b² ≡ 9 (mod 10)
ou
a² ≡ 9, b² ≡ 1 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 10 ≡ 0 (mod 10)
⇒ c² ≡ 0 (mod 10)
⇒ é possível que c² seja quadrado perfeito, pois 0 ∈ A.

(5.) a² ≡ b² ≡ 4 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 8 (mod 10)
⇒ c² ≡ 8 (mod 10)
⇒ c² não é quadrado perfeito, pois 8 ∉ A
⇒ a, b, c não formam uma terna pitagórica.

(6.) a² ≡ 4, b² ≡ 6 (mod 10)
ou
a² ≡ 6, b² ≡ 4 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 10 ≡ 0 (mod 10)
⇒ c² ≡ 0 (mod 10)
⇒ é possível que c² seja quadrado perfeito, pois 0 ∈ A.

(7.) a² ≡ 4, b² ≡ 9 (mod 10)
ou
a² ≡ 9, b² ≡ 4 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 13 ≡ 3 (mod 10)
⇒ c² ≡ 3 (mod 10)
⇒ c² não é quadrado perfeito, pois 3 ∉ A
⇒ a, b, c não formam uma terna pitagórica.

(8.) a² ≡ b² ≡ 6 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 12 ≡ 2 (mod 10)
⇒ c² ≡ 2 (mod 10)
⇒ c² não é quadrado perfeito, pois 2 ∉ A
⇒ a, b, c não formam uma terna pitagórica.

(9.) a² ≡ 6, b² ≡ 9 (mod 10)
ou
a² ≡ 9, b² ≡ 6 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 15 ≡ 5 (mod 10)
⇒ c² ≡ 5 (mod 10)
⇒ é possível que c² seja quadrado perfeito, pois 5 ∈ A.

(10.) a² ≡ b² ≡ 9 (mod 10)

⇒ a² + b² ≡ 18 ≡ 8 (mod 10)
⇒ c² ≡ 8 (mod 10)
⇒ c² não é quadrado perfeito, pois 8 ∉ A
⇒ a, b, c não formam uma terna pitagórica.

Por eliminação dos casos que não interessam, os únicos casos em que c² pode ser quadrado perfeito são (2.), (4.), (6.), (9.), e em todos estes, verifica-se que

c² ≡ 0 ou c² ≡ 5 (mod 10)

Particularmente, se c² é quadrado perfeito, então a, b, c formam uma terna pitagórica, e teremos

c ≡ 0 ou c ≡ 5 (mod 10)
⇒ c é múltiplo de 5.

como queríamos demonstrar.

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Curiosidade: A lei da função f que associa a cada natural n, o dígito das unidades do quadrado de n é

f(n) = n² − ⌊n²/10⌋ · 10

e a imagem de f é justamente o conjunto

A = {0, 1, 4, 5, 6, 9}

que foi citado logo no início desta resposta.

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Bons estudos! :-)