Question

Prove que é possível expressar qualquer vetor (x1, x2) como uma combinação linear de (1, 2) e (0, 3). Dica: tenha em mente que já vimos que qualquer vetor em duas dimensões podem ser expressos como uma combinação linear de i = (1, 0) e j = (0, 1).

Answer 1

Para provar que é possível expressar qualquer vetor em função de (1, 2) e (0, 3) temos que mostrar que os vetores são L.I, i.e linearmente independente, logo se temos dois vetores LI no $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^2\end{gathered}$, eles são base de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^2\end{gathered}$.

Vamos supor dois vetores de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^2\end{gathered}$, u e v:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = \left(u_1, \ u_2\right) \quad v = \left(v_1, \ v_2\right)\end{gathered}$

u e v são base de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^2\end{gathered}$ (linearmente independentes) se e somente se o determinante da matriz é diferente de 0.

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}u \text{ e } v \text{ s\~{a}o L.I}\Leftrightarrow \det \left[\begin{array}{c c}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\end{array}\right] \ne 0\end{gathered} }$

Pois se o determinante é 0, um dos vetores pode ser escrito como combinação linear do outro, logo não são L.I, são L.D.

Logo vamos provar que o determinante desses dois vetores é diferente de 0, vou chamar de:

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = \left(1, \ 2\right) \quad v = \left(0, \ 3\right)\end{gathered}$

Então nossa matriz é:

                                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c}1 & 2\\0 & 3\end{array}\right]\end{gathered}$

Fazendo o determinante:

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\det \left[\begin{array}{c c}1 & 2\\0 & 3\end{array}\right] = 3 \ne 0\end{gathered}$

Portanto u e v são L.I, então eles formam uma base de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^2\end{gathered}$.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Veja a figura em anexo, mostrando a base u v em comparação com a base canônica, veja que u e v geram o plano de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^2\end{gathered}$ também.

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