Question

Prove que cada decimal periódico representa um número racional

Answer 1

ma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.


Exemplos: Dízimas periódicas

0,3333333... = 0,3

1,6666666... = 1,6

12,121212... = 12,12

0,9999999... = 0,9

7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

0,333333... = 0,(3)  = 0,3

3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

0,83333333... = 0,83

0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...