Question

Prove que
C(n, n) = C(n, 0) = 1 ,
para qualquer n inteiro n˜ao negativo.

Answer 1

✅ Após de realizar a demonstração, concluímos que de fato:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C(n,n) = C(n,0) = 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a proposição:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C(n, n) = C(n, 0) = 1,\:\:\:\forall n\in\mathbb{Z_{+}} \end{gathered} }$

Reescrevendo a proposição na forma "se/então", temos:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underbrace{Se\:n > -1}_{\bf Hip\acute{o}tese=p},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:C(n,n) = C(n,0) = 1}_{\bf Tese=q} \end{gathered} }$

Para provar isto vou utilizar a técnica de demonstração direta. Por meio desta técnica temos que provar que a hipótese implica a tese, ou seja:

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} p \Longrightarrow q\end{gathered}$

Sejam os seguintes números:

                                $\Large\begin{cases} A = C(n, n)\\B = C(n,0)\end{cases}$

E sabendo que:

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\Large\begin{cases}0! = 1\\ 1! = 1\end{cases}\:\:\:\forall n \in\mathbb{Z_{+}} \end{gathered} }$

• Desenvolvendo "A":

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = C(n,n)\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{n!}{n!\cdot(n - n)!} \end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{n!}{n!\cdot0!}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{n!}{n!\cdot1}\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\!\diagup\!\!\!\!\!n!}{\!\diagup\!\!\!\!\!n!}\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\end{gathered}$

• Desenvolvendo "B":

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} B = C(n, 0)\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{n!}{0!\cdot(n - 0)!}\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{n!}{1\cdot n!}\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\!\diagup\!\!\!\!\!n!}{\!\diagup\!\!\!\!\!n!}\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\end{gathered}$

Então, temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = B = 1\end{gathered}$

Portanto:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} C(n,n) = C(n,0) = 1\end{gathered}$

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Answer 2

Olá!

Explicação passo a passo:

Sabe-se que:

$\displaystyle \mathtt{C_{n, p} = \frac{n!}{(n - p)!p!}, \, \forall n, p \in \mathbb{\mathtt{Z^+}}, \, onde \, p \leq n}$

Posto isto, temos que:

$\\ \displaystyle \mathtt{C_{n, n} = \frac{n!}{(n - n)!n!}} \\\\ \mathtt{C_{n, n} = \frac{n!}{0!n!}} \\\\ \mathtt{C_{n, n} = \frac{n!}{n!0!}} \\\\ \mathtt{C_{n, n} = \frac{n!}{(n - 0)!0!}} \\\\ \mathtt{C_{n, n} = C_{n, 0} = \frac{n!}{n!1}} \\\\ \boxed{\mathtt{C_{n, n} = C_{n, 0} = 1}}$

Como queríamos demonstrar!