Question

Prove que as retas s: x + 2y – 1 = 0 e r: 4x – 2y +12 = 0 são perpendiculares.

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos duas formas de provar que essa reta é perpendicular.

1 → Analisando o coeficiente angular;

2 → Calculando a angulação entre elas.

Vou tentar fazer das duas maneiras.

1) Coeficiente angular:

Para que uma reta se perpendicular a outra ele deve ter o coeficiente angular igual ao inverso do oposto do coeficiente da outra reta.

Vamos isolar o "y" das duas equações.

$s : x + 2y - 1 = 0 \\ \\ 2y = - x + 1 \\ y = \frac{ - x + 1}{2} \\ y = - \frac{ x}{2} + \frac{1}{2} \\ y = \green{\boxed{ - \frac{1}{2}}} .x + \frac{1}{2}$

Note que o coeficiente da reta "s" é igual a -1/2.

Isolando o y da reta "r":

$r :4x - 2y + 12 = 0 \\ \\ - 2y = - 4x - 12 =.( - 1) \\ 2y = 4x + 12 \\ y = \frac{4x + 12}{2} \\ y = \frac{4x}{2} + \frac{12}{2} \\ y = \green{2}x + 6$

Na reta "r" o coeficiente é igual a 2.

Vamos provar de uma maneira mais bonita.

Para calcular o coeficiente angular de retas perpendiculares temos a seguinte fórmula:

$\boxed{ms = \frac{ - 1}{mr} }$

Vamos fingir que a gente não sabe o valor do coeficiente da reta "s", então vamos substituir o valor do coeficiente da reta "r" na fórmula:

$ms = \frac{ - 1}{mr} \\ \\ ms = \frac{ - 1}{2} \\ \\ \boxed{ms = - \frac{1}{2} }$

Note que foi justamente o valor que achamos, então elas são sim perpendiculares.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️